(Originais Teachy 2023) - Pregunta Difícil de Matemáticas

Sea el número complejo z=-1- 3^0.5 i, donde i es la unidad imaginaria. El valor de z^8 es

Un juego de mesa tiene un dado común, de seis caras, numeradas del 1 al 6. En un lanzamiento, el jugador debe sacar un número par o un número mayor que 3 para avanzar. Sea A el evento de sacar un número par y B el evento de sacar un número mayor que 3. Considerando un lanzamiento del dado, calcula la probabilidad de que el jugador avance en el juego, es decir, el jugador saca un número par o un número mayor que 3.

Una gran escultura de una esfera de acero inoxidable debe ser construida para celebrar el aniversario de una escuela de artes. La escuela desea que la superficie de la esfera esté cubierta por pequeños azulejos cuadrados de cerámica, cada uno midiendo 2 centímetros de lado. Para minimizar los cortes en los azulejos, la escuela decide que la disposición de los azulejos debe seguir un patrón de mosaico que forme un patrón de ajedrez, con líneas y columnas de azulejos alineados con los meridianos y paralelos geográficos de la esfera. Considerando que el radio de la esfera de acero inoxidable es de 1 metro, determine cuántos azulejos cuadrados de cerámica serán necesarios para cubrir toda la superficie de la esfera. Considere que la superficie de la esfera es lisa y no tiene imperfecciones.

Un ingeniero está diseñando una rampa de acceso para un edificio que sigue la forma de una curva senoidal para maximizar el ahorro de espacio. La rampa debe cumplir la siguiente condición: en el punto de altura máxima, que ocurre en el punto de coordenada (0, h), el ángulo de inclinación con el suelo es de 45 grados. La función que describe la altura h de la rampa en función de la distancia x desde el punto inicial de la rampa es h(x) = A * sen(Bx), donde A es la amplitud de la senoide. Considerando que la altura máxima de la rampa es de 6 metros y que el ingeniero desea que la rampa alcance esta altura máxima a una distancia de 2 metros desde el punto inicial, determine los valores de A y B que cumplen con las condiciones del problema. Luego, calcule la distancia al punto de altura máxima donde el ángulo de inclinación es de 30 grados. Utilice trigonometría para justificar su respuesta.