Plan de Cours | Méthodologie Traditionnelle | Fonction exponentielle : Entrées et sorties

Objectifs

Durée: 10 à 15 minutes

L'objectif de cette étape est d'établir une compréhension claire des objectifs du cours, afin que les élèves sachent exactement ce qui sera abordé et ce qu'on attend d'eux. Cela guide l'attention et le focus des élèves, les préparant à assimiler les concepts et compétences qui seront enseignés lors du cours.

Objectifs Principaux

1. Comprendre le concept de fonction exponentielle et sa notation.

2. Apprendre à identifier et calculer les entrées (x) et sorties (y) des fonctions exponentielles.

3. Résoudre des problèmes impliquant des calculs d'entrées et de sorties de fonctions exponentielles.

Introduction

Durée: 10 à 15 minutes

L'objectif de cette étape est d'établir une connexion avec le monde réel et les intérêts des élèves, rendant l'apprentissage plus pertinent et engageant. En présentant des exemples pratiques et des curiosités, les élèves peuvent voir l'utilité des fonctions exponentielles dans des contextes qui leur sont familiers, ce qui facilite la compréhension et la rétention des concepts qui seront abordés tout au long du cours.

Contexte

Pour commencer le cours sur les fonctions exponentielles, commencez par expliquer que les fonctions mathématiques sont des outils puissants qui nous permettent de modéliser et de comprendre une variété de phénomènes dans le monde qui nous entoure. Les fonctions exponentielles, en particulier, sont utilisées pour décrire des situations où quelque chose augmente ou diminue à un taux proportionnel à sa valeur actuelle. Cela est observé dans de nombreux contextes, comme la croissance démographique, la propagation de maladies, la désintégration radioactive et même en finance en parlant des intérêts composés.

Curiosités

Saviez-vous que les fonctions exponentielles sont fondamentales pour comprendre la croissance des réseaux sociaux ? Par exemple, la croissance du nombre d'utilisateurs d'une plateforme comme Instagram peut être modélisée par une fonction exponentielle, où le nombre de nouveaux utilisateurs augmente rapidement à mesure que plus de personnes s'inscrivent et invitent d'autres à participer.

Développement

Durée: 40 à 50 minutes

L'objectif de cette étape est d'approfondir la compréhension des élèves sur les fonctions exponentielles, en fournissant des explications détaillées et des exemples pratiques. En abordant des sujets spécifiques et en résolvant des problèmes en classe, les élèves auront l'occasion d'appliquer les concepts appris, de consolider leur compréhension et de développer des compétences essentielles pour résoudre des questions liées aux fonctions exponentielles.

Sujets Couverts

1. Définition de fonction exponentielle : Expliquez qu'une fonction exponentielle est une fonction de la forme f(x) = a * b^x, où 'a' est un coefficient non nul, 'b' est la base (b > 0 et b ≠ 1) et 'x' est l'exposant. Soulignez l'importance que 'b' soit une constante positive différente de 1. 2. Graphique des fonctions exponentielles : Détails que le graphique d'une fonction exponentielle a une courbe qui croît (lorsque b > 1) ou décroît (lorsque 0 < b < 1) de manière exponentielle. Montrez des exemples de graphiques avec différentes valeurs de 'b'. 3. Comportement de la fonction exponentielle : Discutez du comportement des fonctions exponentielles pour des valeurs de x positives, négatives et zéro. Expliquez que pour b > 1, la fonction croît rapidement à mesure que x augmente et tend vers zéro à mesure que x diminue. Pour 0 < b < 1, la fonction décroît rapidement à mesure que x augmente et tend vers zéro à mesure que x diminue. 4. Calcul des entrées (x) et sorties (y) : Abordez comment trouver les sorties (y) données une valeur d'entrée (x) et comment résoudre pour trouver les entrées (x) données une valeur de sortie (y). Fournissez des exemples pratiques et résolvez des problèmes étape par étape pour illustrer la méthode. Clarifiez l'utilisation des logarithmes lorsque nécessaire pour résoudre des équations exponentielles.

Questions en Classe

1. Donnez la fonction exponentielle f(x) = 2 * 3^x, trouvez la valeur de f(2). 2. Résolvez l'équation 4 * (1/2)^x = 1 pour trouver la valeur de x. 3. Le nombre de bactéries dans une culture est donné par la fonction N(t) = 100 * 2^t, où t est le temps en heures. Combien de bactéries existeront après 3 heures ?

Discussion des Questions

Durée: 20 à 25 minutes

L'objectif de cette étape est de revoir les solutions des questions présentées lors de l'étape de Développement, en s'assurant que tous les élèves ont compris les méthodes et concepts appliqués. De plus, cela favorise la participation active des élèves à travers des questions et des réflexions qui encouragent la discussion et la connexion des concepts avec des situations pratiques, consolidant ainsi l'apprentissage.

Discussion

• Question 1 : Donnez la fonction exponentielle f(x) = 2 * 3^x, trouvez la valeur de f(2).

• Expliquez que pour résoudre cette question, il faut remplacer la valeur de x par 2 dans la fonction donnée. Ainsi, f(2) = 2 * 3^2. Résolvez d'abord la puissance : 3^2 = 9. Ensuite, multipliez par le coefficient : 2 * 9 = 18. Donc, f(2) = 18.

• Question 2 : Résolvez l'équation 4 * (1/2)^x = 1 pour trouver la valeur de x.

• Expliquez que pour résoudre cette équation, on peut d'abord diviser les deux côtés par 4, ce qui donne (1/2)^x = 1/4. Ensuite, réécrivez 1/4 comme (1/2)^2. Donc, nous avons (1/2)^x = (1/2)^2. Comme les bases sont égales, les exposants doivent également être égaux, donc x = 2.

• Question 3 : Le nombre de bactéries dans une culture est donné par la fonction N(t) = 100 * 2^t, où t est le temps en heures. Combien de bactéries existeront après 3 heures ?

• Expliquez que pour résoudre cette question, il faut remplacer la valeur de t par 3 dans la fonction donnée. Ainsi, N(3) = 100 * 2^3. Résolvez d'abord la puissance : 2^3 = 8. Ensuite, multipliez par le coefficient : 100 * 8 = 800. Donc, après 3 heures, il y aura 800 bactéries.

Engagement des Élèves

1. Quelles ont été les principales difficultés lors de la résolution de la question 2 ? Pourquoi ? 2. Comment réécririez-vous l'équation de la Question 2 si la base était différente de 1/2 ? 3. Dans quelles autres situations de la vie quotidienne pensez-vous qu'une fonction exponentielle pourrait être appliquée ? 4. Comment décririez-vous le comportement de la fonction exponentielle à long terme, tant pour la croissance que pour la décroissance ? 5. Si la croissance des bactéries dans la Question 3 était affectée par un facteur externe qui réduisait le taux de croissance, comment ajusteriez-vous la fonction exponentielle ?

Conclusion

Durée: 10 à 15 minutes

L'objectif de cette étape est de récapituler les principaux contenus présentés lors du cours, renforçant ainsi la compréhension et la rétention des concepts. De plus, elle relie la théorie à la pratique, mettant en évidence la pertinence et l'application des connaissances acquises, et assure que les élèves repartent avec une vision claire de l'importance du sujet étudié.

Résumé

• Définition de fonction exponentielle comme f(x) = a * b^x.
• Importance que 'b' soit une constante positive différente de 1.
• Comportement des fonctions exponentielles pour différentes valeurs de x.
• Calcul des sorties (y) données une valeur d'entrée (x) et vice-versa.
• Utilisation des logarithmes pour résoudre des équations exponentielles.

Au cours de la leçon, la théorie des fonctions exponentielles a été reliée à la pratique par le biais d'exemples détaillés et de résolution de problèmes réels. Les applications pratiques, telles que la croissance démographique et la propagation de maladies, ont aidé à illustrer comment les fonctions exponentielles sont utilisées dans le monde réel, facilitant ainsi la compréhension et la pertinence des concepts mathématiques discutés.

Les fonctions exponentielles sont fondamentales pour comprendre de nombreux phénomènes du quotidien, comme la croissance des réseaux sociaux et le calcul des intérêts composés. Par exemple, savoir comment modéliser la croissance d'une population ou prévoir la propagation d'une maladie à l'aide de fonctions exponentielles peut être crucial pour la prise de décisions dans divers domaines, tels que la santé publique et l'économie.