(Originais Teachy 2025) - Frage Schwierig von Mathematik

Stell dir vor, ein Freund von dir hat einen Garten mit mehreren Reihen von Blumen. In jeder Reihe hat er die gleiche Anzahl von Blumen gepflanzt. Wenn er 4 Reihen hat und in jeder 3 Blumen gepflanzt hat, wie viele Blumen hat er insgesamt im Garten gepflanzt? Schreibe die Rechnung, die du gemacht hast, um es herauszufinden, und löse sie dann.

Betrachten Sie die komplexe Ebene, in der komplexe Zahlen als Punkte dargestellt werden. Ein Schüler, der die komplexen Zahlen studiert, bemerkt, dass die Multiplikation mit einer komplexen Zahl als eine Kombination aus einer Rotation und einer Skalierung interpretiert werden kann. Er fragt sich, was geometrisch passiert, wenn wir eine komplexe Zahl mit ihrem Konjugierten multiplizieren. Basierend auf dieser Überlegung erstellen Sie ein mathematisches Argument, das rechtfertigt, warum das Produkt einer komplexen Zahl mit ihrem Konjugierten eine reelle Zahl ergibt. Verwenden Sie die Definition des Konjugierten und die Eigenschaften der Multiplikation komplexer Zahlen, um die Natur des Ergebnisses zu erklären. Darüber hinaus zeigen Sie, dass das Produkt einer komplexen Zahl mit ihrem Konjugierten immer eine nicht negative Zahl ist, das heißt, eine positive reelle Zahl oder null.

Ein Ingenieur berechnet die Neigung einer Rampe, um die Sicherheit der darauf fahrenden Fahrzeuge zu gewährleisten. Die dabei auf ein Fahrzeug wirkende Kraft hängt vom Neigungswinkel θ ab und wird durch die Funktion 2 sin θ – cos θ beschrieben. Damit die Rampe als sicher gilt, muss diese Kraft mindestens 1 betragen. Ermitteln Sie im Bereich von 0° bis 90° alle Winkelwerte θ, für die gilt: 2 sin θ – cos θ ≥ 1.