(Originais Teachy 2025) - Frage Einfach von Mathematik

In einem geometrischen Diagramm liegen die Punkte A, B und C auf dem Kreisumfang, während O den Mittelpunkt darstellt. Liegt der eingeschriebene Winkel ACB bei 40 Grad vor, wie groß ist dann der dazugehörige zentrale Winkel AOB?

Ein Technologieunternehmen stellt fest, dass seine Jahresgewinne gemäß der Exponentialfunktion L(t) = 10^{0.5t} steigen, wobei L den Gewinn in Millionen Reais und t die Zeit in Jahren beschreibt. Mithilfe von Logarithmen soll ermittelt werden, nach wie vielen Jahren die Gewinne 100 Millionen Reais betragen.

Betrachten Sie die komplexe Ebene, in der komplexe Zahlen als Punkte dargestellt werden. Ein Schüler, der die komplexen Zahlen studiert, bemerkt, dass die Multiplikation mit einer komplexen Zahl als eine Kombination aus einer Rotation und einer Skalierung interpretiert werden kann. Er fragt sich, was geometrisch passiert, wenn wir eine komplexe Zahl mit ihrem Konjugierten multiplizieren. Basierend auf dieser Überlegung erstellen Sie ein mathematisches Argument, das rechtfertigt, warum das Produkt einer komplexen Zahl mit ihrem Konjugierten eine reelle Zahl ergibt. Verwenden Sie die Definition des Konjugierten und die Eigenschaften der Multiplikation komplexer Zahlen, um die Natur des Ergebnisses zu erklären. Darüber hinaus zeigen Sie, dass das Produkt einer komplexen Zahl mit ihrem Konjugierten immer eine nicht negative Zahl ist, das heißt, eine positive reelle Zahl oder null.