(Originais Teachy 2023) - Frage Schwierig von Mathematik

Ein Bauunternehmen plant ein neues Gebäude und möchte einen Freizeitraum auf dem Dach in Form eines geraden kreisförmigen Kegels einrichten. Das Unternehmen hat das Ziel, den verfügbaren Raum in diesem Bereich zu optimieren, indem es die Speicherkapazität eines Wassertanks maximiert, der in der Mitte des Kegels installiert wird. Dazu ist es entscheidend, dass die Grundfläche des Tanks so groß wie möglich ist und die gesamte Fläche des Kreises, der die Basis des Kegels bildet, ausfüllt. Da die Baukosten des Tanks direkt proportional zur Grundfläche sind, muss das Unternehmen den Radius der Basis des Kegels so berechnen, dass die Gesamtkosten für den Bau des Tanks minimiert werden. Vor diesem Hintergrund: 1. Leiten Sie einen Ausdruck für das Volumen V des Kegels in Abhängigkeit von seinem Radius r und seiner Höhe h ab. 2. Verwenden Sie Ableitungsansätze, um zu zeigen, dass die Grundfläche des Kegels, die das Volumen des Tanks maximiert, diejenige ist, die den gesamten Kreis ausfüllt, der die Basis des Kegels bildet. Erklären Sie Schritt für Schritt Ihr Denken und geben Sie mathematische Begründungen für Ihre Schlussfolgerungen.