Fragenbank: Rationalisierung von Nennern

Betrachten Sie eine Situation, in der das Verständnis der Rationalisierung von Nennern grundlegend für die Lösung eines praktischen Problems ist. In einem Physikexperiment muss ein Student das Verhältnis zwischen der auf einen Körper ausgeübten Kraft und seiner Beschleunigung berechnen. Der Wert der Kraft beträgt 3√2 N und der der Beschleunigung 4 m/s². Die Rechenregeln zeigen jedoch, dass die Division zwischen diesen beiden Zahlen in ihrer aktuellen Form aufgrund der Quadratwurzel im Zähler nicht direkt möglich ist. Basierend auf seinem Wissen über die Rationalisierung von Nennern beschreibt und rechtfertigt der Student den Prozess, den er befolgen muss, um diese Berechnung durchführen zu können. Anschließend präsentiert er den korrigierten numerischen Ausdruck für das Verhältnis zwischen Kraft und Beschleunigung und bewertet, wie eine Änderung der Magnitude von Kraft oder Beschleunigung das Endergebnis beeinflussen würde.

Ein Ingenieurbüro baut ein neues Projekt und muss die Menge an benötigtem Material für die Herstellung von Befestigungsstützen berechnen. Diese Stützen sind so konzipiert, dass sie paarweise verwendet werden, und die Formel zur Berechnung der Kraft, die sie tragen können, lautet F = (2√3 / 3) * P, wobei F die insgesamt von den beiden Stützen unterstützte Kraft und P die von einer einzelnen Stütze unterstützte Kraft ist. Wenn die maximale Kraft, die eine einzelne Stütze aushalten kann, 500 N beträgt, wie viel Kraft kann das Paar von Stützen insgesamt tragen? Rationalisieren Sie den Nenner des Bruchs, der in der Formel für die Gesamtkraft auftaucht, um einen einfacheren und klareren Ausdruck für die von den beiden Stützen unterstützte Gesamtkraft zu erhalten.

Ein Architekt entwirft eine Treppe, die eine Höhe von 3 Metern über dem Boden erreichen soll und einen Winkel von 30 Grad mit dem Boden bildet. Um Sicherheit und Komfort zu gewährleisten, muss er die exakte Länge der Treppe berechnen, und dafür muss er Konzepte der Trigonometrie verwenden. Unter der Annahme, dass der Sinus von 30 Grad gleich 0,50 und der Kosinus von 30 Grad gleich 0,87 ist, berechne: 1) Die exakte Länge der Treppe. 2) Wenn die Treppe in drei gleiche Segmente gebaut wird, bestimme die Höhe, die jedes Segment über dem Boden erreichen wird, indem du den Nenner der Berechnung der Höhe jedes Segments rationalisierst.

Während einer Physikstunde über die Gesetze von Newton sieht sich ein Schüler mit folgender Situation konfrontiert: Ein Block der Masse m gleitet auf einer reibungsfreien schiefen Ebene, der mit einem Pulley-System verbunden ist, das eine größere Masse M trägt, wie in der Abbildung dargestellt. Wenn sich der Block der Masse m ursprünglich in einer Höhe h über dem Boden befindet und der Neigungswinkel der Ebene zur Horizontalen θ beträgt, möchte der Schüler die Beschleunigung des Blocks und die Spannung im Kabel, das ihn mit dem größeren Block verbindet, bestimmen. Um dieses Problem zu lösen, greift der Schüler auf die Konzepte von Arbeit und Energie zurück und wendet die Erhaltung der mechanischen Energie an. Um die Formel für die potenzielle Energie anzuwenden, ist es jedoch notwendig, den Ausdruck zu rationalisieren, der den Sinus des Winkels θ umfasst, der bei der Berechnung der Endhöhe des Blocks in Bezug auf die Anfangshöhe und den Winkel auftritt. Unter Berücksichtigung der grundlegenden trigonometrischen Beziehungen und der Rationalisierung von Nennern, welcher Ausdruck stellt die Endhöhe h' des Blocks in Bezug auf h, sen(θ) und cos(θ) dar, in dem Moment, in dem die Masse m den Boden erreicht?

Betrachten Sie die folgende hypothetische Situation: In einem Ingenieurprojekt muss ein Architekt die Diagonale eines Quadrats berechnen, dessen Seite 4 Meter misst, um die Länge eines diagonalen Supports zu bestimmen. Dazu wendet er den Satz des Pythagoras an, der besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Katheten ist. Der Architekt erkennt schnell, dass er beim Anwenden der Formel einen Ausdruck mit einer Quadratwurzel im Nenner finden wird. Er weiß, dass die Rationalisierung des Nenners ein gängiges Verfahren ist, um Berechnungen zu erleichtern, und beschließt, dies zu tun. (1) Rationalisieren Sie den Ausdruck, den der Architekt nach Anwendung des Satzes des Pythagoras auf das Quadrat erhalten würde. (2) Erklären Sie, wie das Rationalisierungsverfahren dem Architekten hilft, die exakte Länge des diagonalen Supports effizienter zu bestimmen.