Fragenbank: Kreis: Umfangsprobleme

Ein runder Platz, der von lokalen Künstlern frequentiert wird, die ihre Werke ausstellen, wird mit der Installation eines neuen Brunnens im Zentrum revitalisiert. Die Stadtverwaltung wünscht sich, dass der Brunnen einen Wasserstrahl hat, der den entferntesten Punkt des Platzes erreicht. Um die maximale Länge des Wasserstrahls zu bestimmen, zeichnet ein Ingenieur einen inneren Bogen, der vom Austrittspunkt des Wassers bis zum höchsten Punkt, den es erreicht, reicht; dieser Bogen ist ein Teil eines größeren Kreises, dessen Durchmesser dem Radius des Platzes entspricht. Wenn der Abstand zwischen dem äußeren Rand des Platzkreises und dem vom Ingenieur gezeichneten Bogen der Hälfte des Durchmessers des Platzes entspricht, wie lang muss der Wasserstrahl des Brunnens sein, um den entferntesten Punkt des Platzes zu erreichen? Beachte, dass π=3,14 und der Platz einen Radius von 20 Metern hat.

In einem Vergnügungspark hat ein großes Karussell eine Struktur, die durch einen Kreis mit einem Radius von 8 Metern beschrieben wird. Eine der Attraktionen für die Besucher ist eine Bank, die sich genau 5 Meter vom Zentrum des Karussells befindet und sich mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit von 3 Radiant pro Minute bewegt. Es wird angenommen, dass die Bewegung im Moment beginnt, in dem die Position der Bank am höchsten Punkt ihrer kreisförmigen Bahn ist und die positive Drehrichtung gegen den Uhrzeigersinn ist. (1) Bestimmen Sie die maximale Höhe, die die Bank im Verhältnis zum Boden erreicht, und den Winkel, den das Segment, das das Zentrum des Karussells mit der Bank verbindet, an diesem Punkt mit dem Boden bildet. (2) Berechnen Sie die Zentripetalbeschleunigung der Bank an diesem höchsten Punkt.

In einem Gartenprojekt beschließt ein Student, ein kreisförmiges Beet zu gestalten, inspiriert vom Design einer Sonnenuhr. Er möchte, dass der Radius des Beetes so ist, dass zur Mittagszeit die Spitze des Schattens eines der Lichtmasten, der 5 Meter vom Beet entfernt steht und senkrecht zur Erde steht, genau einen inneren Kreis des Beetes berührt. Da der Schatten des Mastes die Projektion des Radius des Beetes vermindert, sodass die Entfernung vom Zentrum des Beetes zur Spitze des Schattens gleich dem Radius des Beetes ist, bittet der Student um Hilfe, um die exakte Länge des Seils zu bestimmen, das die Entfernung von der Basis des Schattens des Mastes bis zu dem Punkt darstellt, wo es den inneren Kreis des Beetes berührt. Basierend auf den bereitgestellten Informationen, wie lang ist das exakte Seil, das der Student angefordert hat?

Die Herstellung eines großen Riesenrads für einen Themenpark umfasst mehrere komplexe Phasen der Ingenieurwissenschaft und Mathematik. Eine der grundlegenden Phasen ist die Bestimmung der Länge eines Kabels, das den Umfang des Rades umschlingen wird, um die Struktur im Gleichgewicht und in Bewegung zu halten. Angenommen, das Kabel muss in einem Abstand von 4 Metern vom höchsten Punkt des Rades befestigt werden, das einen Radius von 20 Metern hat. Da das Riesenrad vollständig nivelliert ist, wie lang muss das Kabel sein, um sicherzustellen, dass es sich vollständig um den Umfang des Rades wickelt, ohne Spiel oder übermäßige Spannungen? [Hinweis: Verwenden Sie die Definition des zentralen Winkels in Abhängigkeit vom Bogen, um den Teil des Umfangs zu bestimmen, der der Länge des Kabels entspricht.]