授業計画 | 従来のメソッド | 因数分解：二次式

目標

時間: 10から15分

このステップの目的は、生徒に授業の具体的な目標を提示し、何を学ぶかについて明確なビジョンを提供することです。目標を理解することで、生徒は授業を通じて詳細に説明される概念やプロセスに集中しやすくなり、内容の理解と定着が促進されます。

主な目標

1. 2次式の因数分解の概念を説明する。

2. 2次多項式の根を見つけるプロセスを示す。

3. 根を使って式をa(x-r1)(x-r2)の形に因数分解する方法を教える。

導入

時間: 10から15分

このステップの目的は、生徒の興味を引き出し、取り上げられる内容に備えさせることです。2次式の因数分解の実用的な応用を示すことで、理論的な内容と現実世界との関連を作り出し、生徒の動機や関与を高めます。さらに、歴史的なコンテキストやテーマの重要性を理解することは、教えられる概念の吸収を容易にします。

コンテキスト

2次式の因数分解に関する授業を始めるには、この概念が数学や日常生活においてどれほど重要であるかを学生に理解させることが重要です。2次式は物理学、工学、さらには経済学など、さまざまな分野で頻繁に現れることを説明します。たとえば、弾道の軌跡や人口の成長曲線は2次方程式で記述できます。このように、これらの式を因数分解する方法を理解することは、多くの文脈で役立つ重要なスキルです。

好奇心

あなたは2次方程式の根が関数の挙動について多くのことを教えてくれることを知っていましたか？たとえば、関数がグラフ上でx軸を交差する場所を示しています。さらに、数学史において、2次方程式は3000年以上前の古代バビロニアの数学者によって解かれました。彼らは今日私たちが使うのと似た方法を使用しており、この知識の重要性と長い歴史を示しています。

展開

時間: 60から70分

このステップの目的は、生徒が2次式の因数分解について詳細に理解できるようにし、根の特定から因数分解の検証までを行うことです。実用的な例や演習を通じて、生徒は習得した知識を適用し、効果的に学習を定着させることができます。

カバーされたトピック

1. バスカラの公式の復習: バスカラの公式を詳細に説明し、2次方程式の根を見つけるための使用方法を示します。 例: 方程式ax² + bx + c = 0の場合、根はr1, r2 = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2aを使って見つけられます。 2. 根の特定: 方程式の根を正確に特定することの重要性を強調します。これは因数分解に使用されます。バスカラの公式に値を代入してr1とr2を見つける実用的な例を示します。 例: x² - 5x + 6 = 0の場合、根の値はr1 = 2およびr2 = 3です。 3. 方程式の因数分解: 方程式をa(x-r1)(x-r2)の形で表記する方法を教えます。見つけた根を代入することから始め、方程式がどのように変形するかを詳細に説明します。 例: 方程式x² - 5x + 6の場合、因数分解された形は(x-2)(x-3)です。 4. 因数分解の検証: 因数分解が正しいかどうかを確認する方法を示します。因数分解された形を展開し、元の方程式に戻るか確認します。 例: (x-2)(x-3)を掛けるとx² - 5x + 6になります。

教室での質問

1. 方程式x² + 7x + 10を因数分解してください。 2. 方程式2x² - 8x + 6の根を見つけ、その因数分解された形を書いてください。 3. 方程式x² - 4x + 4の因数分解が正しいかどうかを確認してください: (x-2)(x-2)。

質問の討論

時間: 15から20分

このステップの目的は、生徒が授業中に学んだ概念を復習し、確認することであり、2次式の因数分解プロセスを正しく理解したことを保証することです。問題のディスカッションや反射的な質問に答えることで、生徒は疑問を解消し、理解を強化し、理論的な内容と実践的な状況を関連付けることができます。

討論

• 問題 1: 方程式x² + 7x + 10を因数分解してください。

• 方程式x² + 7x + 10を因数分解するには、まず係数a、b、cを特定します。ここではa = 1、b = 7、c = 10です。次に、バスカラの公式を使って根を見つけます:

• r1, r2 = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

• 値を代入すると:

• r1, r2 = (-(7) ± √((7)² - 4(1)(10))) / 2(1)

• r1, r2 = (-7 ± √(49 - 40)) / 2

• r1, r2 = (-7 ± √9) / 2

• r1, r2 = (-7 ± 3) / 2

• したがって、r1 = -2、およびr2 = -5です。

• したがって、因数分解された形は(x + 2)(x + 5)です。

• 問題 2: 方程式2x² - 8x + 6の根を見つけ、その因数分解された形を書いてください。

• まず、係数a、b、cを特定します。ここではa = 2、b = -8、c = 6です。バスカラの公式を使用して根を見つけます:

• r1, r2 = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

• 値を代入すると:

• r1, r2 = (8 ± √((-8)² - 4(2)(6))) / 2(2)

• r1, r2 = (8 ± √(64 - 48)) / 4

• r1, r2 = (8 ± √16) / 4

• r1, r2 = (8 ± 4) / 4

• したがって、r1 = 3、およびr2 = 1です。

• したがって、因数分解された形は2(x - 3)(x - 1)です。

• 問題 3: 方程式x² - 4x + 4の因数分解が正しいかどうかを確認してください: (x - 2)(x - 2)。

• 因数分解された形(x - 2)(x - 2)を展開すると:

• (x - 2)(x - 2) = x² - 2x - 2x + 4

• 簡略化すると、x² - 4x + 4になります。

• したがって、因数分解は正しいです。

学生の関与

1. 方程式を因数分解する前に根を確認することが重要な理由は何ですか？ 2. バスカラの公式が2次式の因数分解にどのように役立つか？ 3. 方程式の根を誤って特定した場合、どのような結果が考えられますか？ 4. 因数分解の他に、2次方程式の根がどのような実用的な応用を持つ可能性がありますか？ 5. 2次式の因数分解が役立つ現実世界の例を説明してください。

結論

時間: 10から15分

このステップの目的は、授業中に扱った主なポイントを総括し、生徒の理解を強化することです。また、理論的な内容を実践的な応用と結びつけ、習得した知識が日常生活でどれほど重要であるかを示すことで、学びを定着させ、テーマの重要性を強調します。

要約

• 2次式の因数分解の概念。
• 2次方程式の根を見つけるためのバスカラの公式の使用。
• 根r1およびr2の正しい特定。
• 方程式をa(x-r1)(x-r2)の形で表記。
• 因数分解が元の方程式に戻るか確認するために因数分解を展開します。

この授業では、バスカラの公式を使用して2次方程式の根を見つけ、その根を利用して式を因数分解する方法を示すことで、理論と実践を結びつけました。実用的な例や演習を通じて、これらの概念を確固たるものにしました。

2次式の因数分解を理解することは、物理学、工学、経済学などさまざまな分野の問題解決にとって基本的です。2次方程式の根はグラフの交差点を示したり、自然現象や人工システムの挙動を予測したりすることができ、この知識の実用性を示しています。