Introducción

Relevancia del Tema

La función es uno de los conceptos más fundamentales y versátiles de las matemáticas, desempeñando roles destacados en varias áreas de la ciencia y la ingeniería. El estudio de las funciones prepara el escenario para el análisis matemático avanzado, la modelización matemática en diversas ciencias aplicadas y en muchas áreas de la computación.

En el contexto del currículo de matemáticas del 9º año de la Educación Básica, el estudio de las funciones representa una transición significativa del pensamiento aritmético al pensamiento algebraico, que es la base para la comprensión de conceptos más complejos en matemáticas. Además, este estudio es una preparación esencial para el estudio del cálculo, que es el pilar de las matemáticas universitarias y aplicadas.

Contextualización

El estudio de función: entradas y salidas se sitúa dentro del contexto más amplio del estudio de funciones en el 9º año. Después de haber explorado el concepto de función de manera general, ahora nos adentraremos en el corazón de su significado: las entradas y salidas. Cada situación de la vida real, calculada o modelada en una función, posee esta dinámica: algo entra y algo sale. ¡Y es en esta relación en la que nos enfocaremos!

En términos de secuencia didáctica, la comprensión del funcionamiento de las entradas y salidas prepara el camino para la siguiente etapa del estudio de funciones, que es la representación de esas relaciones a través de expresiones algebraicas. Por lo tanto, profundizar en este tema es el paso natural para la progresión del aprendizaje, permitiendo una visión más amplia y profunda de las funciones y su uso en la modelización.

Desarrollo Teórico

Componentes

• Funciones: Una función es una relación entre un conjunto específico de entradas (llamado dominio) y un conjunto de salidas correspondientes (llamado contradominio). Cada elemento del dominio está relacionado con exactamente un elemento del contradominio.

  • Ejemplo: Considera una función que duplica cualquier número que se le dé como entrada. En este caso, el número que entra es el dominio de la función y su doble es la salida, o contradominio.

• Dominio y Contradominio: El dominio de una función es el conjunto de todas las posibles entradas, mientras que el contradominio es el conjunto de todas las posibles salidas.

  • Ejemplo: En la función que duplica el número, el dominio incluye todos los números reales, mientras que el contradominio incluye todos los números reales que son el doble de un número real.

• Entradas y Salidas: Las entradas son los valores que colocamos en la función, mientras que las salidas son los valores que recibimos como respuesta. El cambio en la entrada conlleva un cambio en la salida, creando así una relación entre ambos.

  • Ejemplo: Si colocamos el número 4 en la función que duplica, la salida será 8. Si colocamos el número 7, la salida será 14.

Términos Clave

• Función: Una función es una “máquina” que transforma una cantidad (la entrada) en otra cantidad (la salida).
• Dominio: Conjunto de valores que son válidos como entrada para la función.
• Contradominio: Conjunto de valores que son posibles como salida de la función.
• Imagen: Conjunto de valores que efectivamente son salidas de la función.
• Entradas y Salidas: Valores que pasan por la función de acuerdo con la regla establecida.

Ejemplos y Casos

• Ejemplo de Venta de Boletos: Supongamos que eres responsable de vender boletos para un espectáculo. La función de ventas es la relación entre el precio del boleto y el número de boletos vendidos. En este escenario, el precio del boleto es la entrada y el número de boletos vendidos es la salida.
• Ejemplo de la Factura de Luz: La factura de luz se calcula en base a una función que tiene en cuenta el consumo de energía. El consumo de energía es la entrada y el valor a pagar es la salida.
• Ejemplo de la Aplicación de Música: En la aplicación de música, la función de recomendación de canciones tiene en cuenta tus preferencias de género, artistas y la duración del tiempo que has pasado escuchando. Aquí, esos datos son las entradas y la lista de canciones recomendadas es la salida.

Resumen Detallado

Puntos Relevantes

• La función es una relación: Es importante entender que una función es una relación, una asociación entre dos variables. En particular, es importante distinguir quién es quién en la relación: la entrada (dominio) y la salida (contradominio).

• Dominio y Contradominio: Todas las funciones tienen un dominio (entrada) y un contradominio (salida). El dominio es el conjunto de todas las posibles entradas, mientras que el contradominio contiene todas las posibles salidas.

• Entradas y Salidas: La comprensión clara de qué son las entradas y salidas es crucial para la comprensión de las funciones. Las entradas son los valores que se introducen en la función, mientras que las salidas son los valores que la función proporciona como respuesta. El valor o la cantidad de la salida depende del valor o la cantidad de la entrada, formando así una conexión o relación.

Conclusiones

• Una vez que tengamos una comprensión clara de cómo operan las funciones, podemos comenzar a manipularlas para nuestros propios propósitos. Podemos crear funciones que manejen cualquier tipo de entrada que deseemos y produzcan cualquier tipo de salida.

• La práctica es esencial para mejorar la comprensión de los conceptos de función. A menudo, los ejercicios simples son el mejor camino para profundizar el conocimiento y la comprensión.

• Las funciones matemáticas son modelizaciones poderosas que pueden expresar una amplia variedad de fenómenos del mundo real. La capacidad de entenderlas y usarlas es una habilidad valiosa en muchas áreas de la vida y el trabajo.

Ejercicios Sugeridos

1. Crea una función matemática que tome un número como entrada y proporcione el cuadrado de ese número como salida. Por ejemplo, la entrada 4 produciría la salida 16.

2. Identifica la entrada, la salida, el dominio y el contradominio en la función: 'Para cada número real x, el número resultante de sumar 3 a x y dividir el resultado por 2 es y'.

3. Dado el siguiente problema: 'Juan tiene un negocio de pasteles, que cobra R$ 15 por pastel. Escribe una función que relacione el número de pasteles encargados con el total de dinero que Juan gana'. Identifica las entradas y salidas y escribe una expresión para esa función.