Introducción

Relevancia del Tema

Las 'Variables' son componentes esenciales de las matemáticas, siendo un eslabón crucial de conexión entre la aritmética elemental y el álgebra avanzada. Son fundamentales en la resolución de problemas matemáticos, así como en otras áreas del conocimiento como la física, la economía, la ingeniería de software, entre muchas otras. La comprensión de las variables es un punto de transición, moviéndose más allá de simples operaciones numéricas hacia un reino de ideas y conceptos más abstractos, estableciendo la base para la comprensión de conceptos matemáticos más complejos.

Contextualización

En el currículo de matemáticas del 6º año, los estudiantes se están familiarizando, en primer lugar, con la representación simbólica y simbólico-algebraica, que son la base para el álgebra futura. El estudio de las variables, por lo tanto, prepara el terreno para la construcción de conceptos más avanzados, como expresiones algebraicas, ecuaciones e inecuaciones. Además, este conocimiento también contribuye a la resolución de problemas cotidianos, ya que los conceptos de variables se utilizan con frecuencia en contextos prácticos. Una comprensión sólida de las variables en este momento impulsará el éxito en la comprensión de materias posteriores en matemáticas.

Desarrollo Teórico

Componentes

• ¿Qué es una variable? Una 'variable' es un símbolo que representa un valor desconocido. Deriva su nombre de 'variar', ya que el valor que representa puede cambiar según el contexto. En matemáticas, las variables suelen representarse con letras del alfabeto, como 'x', 'y' o 'z'.

• Valor de una Variable: El valor de una variable puede variar según el contexto. Este valor desconocido es el que buscamos encontrar o expresar en una ecuación. En una expresión matemática, una variable puede ser reemplazada por cualquier número, lo que lleva a diferentes resultados.

• ¿Cómo se utilizan las Variables? Las variables se utilizan para representar una serie de cantidades, desde números desconocidos hasta cantidades que cambian. Se utilizan para formar expresiones algebraicas, ecuaciones e inecuaciones, que son herramientas fundamentales para modelar problemas reales en matemáticas.

Términos Clave

• Variables independientes y dependientes: En una relación matemática, la variable cuyo valor es conocido o definido se llama 'variable independiente'. Es la que 'influye' o 'determina' la variable dependiente. Esta, a su vez, 'depende' del valor de la variable independiente. Por ejemplo, en la fórmula para calcular el área de un círculo 'A = π r^2', 'r' es la variable independiente (el radio del círculo) y 'A' es la variable dependiente (el área del círculo).

• Constantes: En una expresión matemática, las constantes son valores fijos que no cambian. Por ejemplo, en la fórmula del área del círculo, 'π' es una constante, ya que su valor es siempre el mismo, independientemente del valor del radio.

• Concepto de 'Resolver una ecuación': Resolver una ecuación significa encontrar el valor de la variable que hace que la ecuación sea verdadera. Esto se hace aplicando operaciones matemáticas equivalentes, tanto en cada lado de la ecuación como para la ecuación en su conjunto, hasta aislar la variable.

Ejemplos y Casos

• Ejemplo 1: Expresión Algebraica Si tenemos una caja con 'x' manzanas y le agregamos 'y' manzanas más, el total de manzanas en la caja puede representarse por la expresión 'x + y'. Aquí, 'x' e 'y' son las variables que representan la cantidad de manzanas en la caja.

• Ejemplo 2: Ecuación La ecuación '3x + 5 = 20' representa la situación donde tenemos un número desconocido multiplicado por 3, sumado 5, y el total da 20. En este caso, estamos tratando de encontrar el valor de 'x' que satisface la igualdad. La resolución de la ecuación resulta en 'x = 5'.

• Ejemplo 3: Variables independientes y dependientes Si el costo de comprar 'x' libros es de 'y' reales, entonces 'x' es la variable independiente y 'y' es la variable dependiente. Para cada valor de 'x' que elijamos (variable independiente), habrá un valor correspondiente de 'y' (variable dependiente) que determinará el costo total de los libros.

Resumen Detallado

Puntos Relevantes

• Significado y Uso de Variables: Las variables son símbolos que representan valores desconocidos. Son esenciales en matemáticas para modelar y resolver problemas. Las variables pueden ser reemplazadas por cualquier número, lo que puede llevar a resultados diferentes.
• Variables Independientes y Dependientes: En matemáticas, una variable que es conocida o definida se llama 'variable independiente'. Ella influye o determina el valor de otra variable llamada 'variable dependiente'.
• Importancia de las Constantes: Las constantes son valores fijos que no cambian en una expresión matemática, acompañan o se mezclan con las variables. Por ejemplo, en 'A = π r^2', π es una constante.

Conclusiones

• Aplicación de Variables: Las variables se utilizan para representar cantidades desconocidas o variables y son fundamentales para expresiones matemáticas, ecuaciones e inecuaciones. Comprender su aplicabilidad abre puertas para la resolución de problemas matemáticos y del mundo real.
• Resolviendo Ecuaciones: El concepto de 'resolver una ecuación' se ha elucidado, destacando la importancia de operaciones matemáticas equivalentes para aislar la variable y encontrar su solución.

Ejercicios

1. Escriba una expresión algebraica utilizando las variables 'a' y 'b' que representen la suma de 'a' manzanas y 'b' naranjas.
2. Considere la ecuación '2x + 3 = 11'. Resuélvala, encontrando el valor de 'x'.
3. En una situación, un vendedor de autos gana un valor fijo por mes (R$ 500,00) más una comisión (R$ 100,00) por cada auto vendido. Escriba esta situación en forma de una ecuación, con 'v' representando el valor total que el vendedor gana en un mes y 'c' representando el número de autos vendidos. ¿Cuánto gana el vendedor si vende 5 autos en el mes?