Resumen de Sistemas Lineales: Resolución

Palabras clave

¿Cómo definir un sistema lineal?
¿Cuáles son los pasos para aplicar el Método de Cramer?
¿De qué forma el Método de Escalonamiento resuelve sistemas lineales?
¿Cómo se utilizan las matrices para representar sistemas lineales?
¿Cuál es la importancia de los determinantes en la resolución de sistemas mediante el Método de Cramer?
¿Cuándo un sistema lineal tiene solución única, soluciones infinitas o ninguna solución?
¿Cuáles son los métodos iterativos para resolver sistemas lineales?

Aplicar operaciones elementales en las filas de la matriz aumentada $(A|b)$ hasta que alcance la forma escalonada.
Resolver el sistema triangular resultante mediante sustituciones sucesivas.

Sistemas Lineales: Conjunto de ecuaciones lineales con el mismo conjunto de variables. Pueden ser consistentes (tienen solución) o inconsistentes (no tienen solución).
Método de Cramer: Método algebraico que utiliza determinantes para resolver sistemas lineales cuadrados (mismo número de ecuaciones e incógnitas).
Método de Escalonamiento: Técnica que transforma el sistema en un equivalente más simple hasta llegar a una forma triangular, facilitando la identificación de las soluciones.
Matrices: Representaciones rectangulares de números o funciones que pueden usarse para describir sistemas lineales de forma compacta.
Determinantes: Número único asociado a una matriz cuadrada que es fundamental en la resolución de sistemas mediante el Método de Cramer.

Representación Matricial: Fundamental para comprender sistemas lineales y aplicar métodos de resolución basados en matrices y determinantes.
Existencia y Unicidad de Solución: Basada en el Teorema de Rouché-Capelli, que relaciona el rango de la matriz de coeficientes y el rango de la matriz aumentada.
Métodos Iterativos: Como Gauss-Seidel y Jacobi, importantes para sistemas grandes donde los métodos directos como Cramer y Escalonamiento pueden ser inviables.

Cálculo de Determinantes: Desarrollo de Laplace, regla de Sarrus (para matrices 3x3) y propiedades que facilitan el cálculo de determinantes de orden superior.
Condiciones de Rouché-Capelli: Un sistema es compatible si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz aumentada; si son iguales al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado (una única solución).

Resolución de un Sistema mediante el Método de Cramer:
- Dado un sistema 3x3, calcular los determinantes de la matriz de coeficientes y de las matrices modificadas para cada variable.
- Encontrar las variables dividiendo los determinantes modificados por el determinante de la matriz de coeficientes.
Aplicación del Método de Escalonamiento:
- Transformar el sistema original a la forma escalonada utilizando operaciones elementales en las filas.
- Resolver el sistema triangular resultante por sustitución, comenzando por la última ecuación hasta la primera.
Uso del Teorema de Rouché-Capelli:
- Calcular los rangos de las matrices de coeficientes y aumentada de un sistema para determinar su compatibilidad y si es determinado o indeterminado.

Sistemas Lineales: Conjuntos de ecuaciones lineales que pueden tener diferentes tipos de soluciones: única, infinitas o ninguna.
Representación Matricial: Fundamental para una visión compacta del sistema y aplicación de métodos algebraicos.
Método de Cramer: Utiliza determinantes para resolver sistemas con una única solución, aplicable solo cuando la matriz de coeficientes es cuadrada y su determinante no es cero.
Método de Escalonamiento: Transforma el sistema en una forma triangular simplificada, facilitando la solución por sustituciones sucesivas.
Determinantes: Cruciales en el Método de Cramer y para verificar la existencia de soluciones únicas en el sistema.
Teorema de Rouché-Capelli: Proporciona criterios para determinar la existencia y la cantidad de soluciones basadas en los rangos de las matrices de coeficientes y aumentada.

Un sistema lineal puede resolverse de manera consistente si tiene el mismo número de ecuaciones independientes e incógnitas.
El cálculo de determinantes es esencial en el Método de Cramer y en el análisis de soluciones únicas de sistemas cuadrados.
El Método de Escalonamiento es versátil y aplicable a cualquier sistema, siendo especialmente útil para sistemas no cuadrados o cuando el determinante de la matriz de coeficientes es cero.
El conocimiento de operaciones elementales en matrices es imprescindible para la aplicación del Método de Escalonamiento.
Las técnicas iterativas pueden ser clave para resolver sistemas grandes, donde los métodos directos son computacionalmente costosos.