Introducción a los Números Complejos: Producto y División

Relevancia del Tema

El estudio de los números complejos es indispensable en Matemáticas, ya que extiende el conjunto de los números reales de manera que permite resolver expresiones que de otra forma no serían posibles. La introducción de este tema representa un quiebre de paradigma y la apertura de un vasto campo de investigación matemática.

Contextualización

Al llegar al 3er año de la Enseñanza Media, ya tenemos una base sólida sobre los números reales y sus operaciones. Además, probablemente ya hemos tenido contacto con la noción de números imaginarios, que son la raíz cuadrada de números reales negativos, como el -1.

Los números complejos son una expansión natural de los números reales, ya que permiten la adición de una segunda dimensión, la parte imaginaria. Así, los números complejos están formados por una parte real y una parte imaginaria sumadas entre sí.

En este punto, al estudiar el producto y la división de números complejos, estamos explorando la riqueza del conjunto de los números complejos, profundizando nuestro entendimiento sobre sus operaciones y propiedades, y fortaleciendo nuestra habilidad para resolver problemas más complejos.

Desarrollo Teórico

• Números Complejos: Los números complejos z son de la forma z = a + bi, donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria, definida por i² = -1. La parte real de z, representada por Re(z), es el número a, y la parte imaginaria, representada por Im(z), es el número bi.

• Producto de Números Complejos: El producto de dos números complejos z1 = a1 + b1i y z2 = a2 + b2i se calcula utilizando la propiedad distributiva de la multiplicación:

  z1 * z2 = (a1 + b1i) * (a2 + b2i) = a1a2 + a1b2i + a2b1i + b1b2i² = a1a2 + (a1b2 + a2b1)i + b1b2i²

  Recuerda que i² = -1, entonces tenemos que i² * b1b2 = -b1b2. Por lo tanto, el producto final queda de la forma:

  z1 * z2 = a1a2 - b1b2 + (a1b2 + a2b1)i

• División de Números Complejos: La división de dos números complejos z1 = a1 + b1i y z2 = a2 + b2i se realiza multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador (a2 - b2i):

  (z1/z2) = (a1 + b1i) / (a2 + b2i) = (a1 + b1i) * (a2 - b2i) / (a2 + b2i) * (a2 - b2i) = (a1a2 - b1b2 + (a1b2 - a2b1)i) / (a2a2 - b2b2) = (a1a2 - b1b2 + (a1b2 - a2b1)i) / (a2² + b2²)

  Por lo tanto, el cociente final queda de la forma:

  (z1/z2) = (a1a2 + b1b2) / (a2² + b2²) + (a2b1 - a1b2)i / (a2² + b2²)

  Observa que el denominador no es cero. En caso de serlo, la división es indefinida.

Resumen Detallado

Puntos Relevantes

• Constitución de los Números Complejos: Los números complejos están formados por una parte real y una parte imaginaria, siendo que la unidad imaginaria i es la raíz cuadrada de -1. Por lo tanto, un número complejo puede ser representado como z = a + bi, donde a es la parte real y b es la parte imaginaria.

• Operación de Producto de Números Complejos: El producto de dos números complejos se realiza considerando que i² = -1. De esta forma, la operación de multiplicación entre los términos reales e imaginarios de los dos números complejos se realiza y, al final, la parte i² es reemplazada por -1:

  z1 * z2 = a1a2 - b1b2 + (a1b2 + a2b1)i

• Operación de División de Números Complejos: La división de dos números complejos z1 y z2 se realiza multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Después de la multiplicación, la expresión se simplifica para representar el número complejo en la forma a + bi:

  (z1/z2) = (a1a2 + b1b2) / (a2² + b2²) + (a2b1 - a1b2)i / (a2² + b2²)

Conclusiones

• El dominio de los números complejos y sus operaciones permite manejar una gama más amplia de expresiones matemáticas. Las operaciones de producto y división entre números complejos son esenciales en esta expansión.

• La operación de producto entre números complejos incluye la multiplicación de los términos reales e imaginarios, así como la manipulación de la expresión i² para representar el resultado en la forma a + bi.

• La operación de división entre números complejos se realiza multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Esto garantiza que el denominador sea un número real, lo que facilita la simplificación de la expresión.

Ejercicios Sugeridos

1. Realiza el producto de los números complejos z1 = 3 + 2i y z2 = -1 + 5i.

2. Divide los números complejos z1 = 6 - 4i por z2 = 2 + i. Verifica si la división es indefinida.

3. Escribe el número complejo z3 = 4 - 7i en forma polar (módulo-argumento).