Introducción

Relevancia del Tema

La función trigonométrica es uno de los pilares fundamentales de la matemática. Describe la relación entre ángulos y lados de un triángulo, lo que es esencial en muchos campos de estudio, como física, ingeniería, ciencias de la computación, entre otros.

La comprensión de estas funciones y sus características, incluyendo dominio, imagen y periodicidad, es crucial para resolver problemas complejos e interpretar fenómenos naturales. Así, la exploración de las entradas y salidas de estas funciones, es decir, los valores que podemos colocar y los resultados que podemos obtener, es un punto central en matemática.

Contextualización

El estudio de la función trigonométrica se sitúa en la disciplina de Matemáticas del 3º año de la Enseñanza Media y está insertado en la unidad de Trigonometría. En esta unidad, se exploran los conceptos fundamentales de la trigonometría, como medidas de ángulos, triángulos, la relación entre ángulos y arcos, y claro, las funciones trigonométricas.

Tras esta etapa introductoria, el foco se vuelve hacia el análisis detallado de las funciones trigonométricas, sus propiedades y transformaciones. El estudio de las entradas y salidas, que es el principal punto de esta nota de clase, es un paso fundamental para la comprensión del comportamiento de estas funciones y para la resolución de ecuaciones e inecuaciones trigonométricas. Es donde la matemática comienza a mostrar su verdadero poder, siendo aplicable al mundo real de manera más directa y compleja.

Desarrollo Teórico

Componentes

• Dominio de las Funciones Trigonométricas: En trigonometría, el dominio es el conjunto de los valores que un ángulo puede asumir. Para las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente, el dominio son todos los ángulos reales (medidos en radianes).

  • Sen(X): La función seno posee como dominio el conjunto de los ángulos reales. Siempre genera como salida un número real entre -1 y 1. El seno de un ángulo es la proporción entre la longitud del cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa en un triángulo rectángulo.

  • Cos(X): La función coseno también posee como dominio el conjunto de los ángulos reales. Sus salidas son números reales también variando entre -1 y 1. El coseno de un ángulo es la proporción entre la longitud del cateto adyacente y la hipotenusa en un triángulo rectángulo.

  • Tg(X): La función tangente tiene como dominio el conjunto de los ángulos reales, con excepción de los ángulos que son múltiplos impares de 90°. Sus resultados pueden ser cualquier número real.

• Imagen de las Funciones Trigonométricas: En matemáticas, la imagen es el conjunto de los valores que la función puede "producir" cuando recibe un valor de su dominio. Para los seno, coseno y tangente, la imagen es el intervalo cerrado [-1, 1].

• Período de las Funciones Trigonométricas: Para las funciones trigonométricas, el período es el menor valor positivo que al ser añadido al ángulo inicial, resulta en un nuevo ángulo con el mismo valor de la función. En las funciones seno, coseno y tangente, el período es 2π (o 360°).

Términos-Clave

• Función Trigonométrica: Es una función que tiene como dominio el conjunto de los ángulos y como imagen el conjunto de los números reales. Las principales funciones trigonométricas son el seno (sin), el coseno (cos) y la tangente (tg).

• Dominio: En el contexto de la trigonometría, el dominio es el conjunto de los ángulos para los cuales la función tiene un valor correspondiente.

• Imagen: Es el conjunto de valores que la función puede asumir cuando el ángulo pertenece al dominio.

• Período: Es el menor valor positivo T tal que para cualquier ángulo x, tenemos que f(x+T) = f(x), donde f es una función trigonométrica.

Ejemplos y Casos

• Caso de la Función Seno: Considerando la función seno (sen(x)), si x = π/2, la salida de la función será 1, representando el hecho de que en el triángulo rectángulo, el ángulo π/2 (90°) tiene la proporción máxima entre el cateto opuesto y la hipotenusa, es decir, el cateto opuesto tiene la misma longitud de la hipotenusa. Si x = π, la salida de la función será 0, indicando que en el triángulo rectángulo, el ángulo π (180°) tiene el cateto opuesto con longitud cero, es decir, el cateto opuesto coincide con la hipotenusa.

• Caso de la Función Coseno: Para coseno (cos(x)), si x = 0, la salida de la función será 1, indicando que en el triángulo rectángulo, el ángulo 0 tiene el cateto adyacente y la hipotenusa con la misma longitud. Si x = π/2, la salida será 0, indicando que el cateto adyacente y la hipotenusa son perpendiculares, es decir, no tienen longitud en la dirección del otro.

• Caso de la Función Tangente: En el caso de la función tangente (tg(x)), cuando x = 0 la función no está definida, pues es el punto donde la función seno es cero. Si x = π/4, la salida de la función será 1, pues en el triángulo rectángulo, el ángulo π/4 (45°) tiene la proporción máxima entre el cateto opuesto y el cateto adyacente, es decir, tienen la misma longitud.

Resumen Detallado

Puntos Relevantes

• Naturaleza de la Función Trigonométrica: Una función trigonométrica es una función que describe una relación entre los ángulos de un triángulo y las proporciones de las medidas de sus lados. Las principales funciones trigonométricas son el seno, coseno y tangente.

• Dominio e Imagen: Para las funciones trigonométricas, el dominio es el conjunto de todos los ángulos posibles (medidos en radianes), es decir, los valores de entrada para la función. La imagen, por su parte, es el intervalo de valores que la función puede generar cuando recibe un valor del dominio.

• Período de las Funciones Trigonométricas: El período de una función es el menor valor para el cual la función se repite. En trigonometría, las funciones seno, coseno y tangente tienen un período de 2π (o 360°). Es decir, la función seno, por ejemplo, se repetirá cada 2π radianos.

Conclusiones

• Aplicaciones: Las funciones trigonométricas tienen una amplia variedad de aplicaciones prácticas, desde la modelación de fenómenos naturales hasta cálculos en programación y ingeniería.

• Interpretación Gráfica: El análisis de las entradas y salidas de una función, junto con su representación gráfica, permite la interpretación de conceptos trigonométricos de manera visual e intuitiva.

• Interconexión de Conceptos: El estudio de las funciones trigonométricas "amplía" nuestro entendimiento sobre ángulos y triángulos, mostrando cómo estos conceptos están intrínsecamente relacionados con el cálculo matemático.

Ejercicios

1. Ejercicio 1: Calcule el valor de sin(π/6) e interprete el resultado.

2. Ejercicio 2: Determine los ángulos para los cuales tg(x) = 0 y explique por qué esos ángulos no están en el dominio de la función tangente.

3. Ejercicio 3: Presente el gráfico de las funciones seno y coseno en el intervalo [0, 2π]. Identifique los puntos de máximo, mínimo e interceptación con el eje x para cada una de las funciones.