Introducción a la Nota de Clase - Números Primos y Compuestos: Revisión

Números Primos y Compuestos son fundamentales para la composición del vasto campo de la teoría de los números. Son los bloques de construcción que forman todos los otros números enteros.
La comprensión de estos conceptos facilita la resolución de una amplia variedad de problemas matemáticos, desde operaciones básicas hasta temas avanzados como criptografía y factorización.
Su aplicación trasciende el mundo de la Matemática, encontrándose en Ciencia de la Computación, Criptografía, Estadística, entre otros.

Dentro del currículo de Matemática en el 1º año de la Enseñanza Media, Números Primos y Compuestos representan una sección crucial, estableciendo la base para temas más complejos como divisibilidad, factorización y fracciones.
El estudio de los números primos y compuestos es una extensión natural del trabajo previo con números enteros, repitiendo la división de cantidades para crear un nuevo significado para división en fracciones.
Profundizar el conocimiento en estos conceptos es la clave para entender y operar con confianza en problemas matemáticos que usarán estos conceptos de manera crucial.
Nota importante: Anteriormente, en Estudio de los Conjuntos, discutimos números Naturales y Enteros. Ahora, avanzamos al siguiente nivel, que es entender la descomposición de estos números en factores primos y compuestos.

Desarrollo Teórico

Números Primos: Son números naturales mayores que 1 y que poseen solo dos divisores: el 1 y él mismo. Son la base de todos los otros números. Ejemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29... (Teorema Fundamental de la Aritmética)
Números Compuestos: Son números naturales mayores que 1 que poseen más de dos divisores, es decir, son divisibles por números además de 1 y ellos mismos. Pueden ser descompuestos en factores primos. (Teorema Fundamental de la Aritmética)
Descomposición en Factores Primos: Todo número compuesto puede ser descompuesto en un producto de números primos. Este factoramiento es único salvo por el orden de los factores.

Divisibilidad: Propiedad de los números en que, dado un número dividendo y un número divisor, si la división es exacta (el resto es cero), decimos que el dividendo es divisible por el divisor.
Divisor: Un número que puede ser dividido exactamente por otro número se denomina divisor de ese número.
Múltiplo: Un número multiplicado por otro número entero genera un múltiplo de ese número.

Número Primo: El número 5 es un número primo porque está dividido exactamente por 1 y por él mismo (5) - dos divisores en total. No es divisible por ningún otro número.
Número Compuesto: El número 12 es un número compuesto porque tiene más de dos divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 12. No todos los números entre 1 y 12 pueden ser usados como divisores para cualquiera de los números.
Descomposición en Factores Primos: La descomposición en factores primos del número 30 es 2 × 3 × 5. Todos esos números son primos y, al multiplicarlos, obtenemos el número original.

Números Primos y Números Compuestos: La diferenciación entre estos dos tipos de números es crucial. Números primos son aquellos que solo pueden ser divididos exactamente por 1 y por él mismo, mientras que números compuestos pueden ser divididos por más números además de 1 y ellos mismos.
Descomposición en Factores Primos: Esta es una técnica clave que nos permite entender la estructura interna de los números compuestos. Cada número compuesto puede ser descompuesto en un único conjunto de números primos multiplicados.
Teorema Fundamental de la Aritmética: Este teorema es la base para la diferencia entre números primos y compuestos, pues afirma que todos los números compuestos tienen una descomposición única en números primos. Este es un concepto fundamental para la teoría de los números.
Divisibilidad y Divisores: Estas dos nociones son esenciales para la definición de números primos y compuestos. La capacidad de un número para ser dividido igualmente por otro número es la base de estas definiciones.

La Importancia de los Números Primos: Los números primos son los bloques de construcción fundamentales para todos los otros números. Desempeñan un papel crucial en varias áreas de la Matemática y en la Ciencia de la Computación.
La Unicidad de la Descomposición en Factores Primos: La descomposición de un número compuesto en factores primos es única, excepto por el orden de los factores. Esto significa que, dada la descomposición en factores primos de un número, podemos determinar con certeza si es un número primo o compuesto, y, si es compuesto, cuáles son sus factores primos.
Relevancia de la Divisibilidad para la Matemática: La noción de divisibilidad es de vital importancia en la Matemática, pues es la base para muchos otros conceptos, incluyendo números primos y compuestos.

Clasificación de Números: Clasifique los siguientes números como primos o compuestos: 17, 25, 37, 49, 58.
Descomposición en Factores Primos: Descomponga los siguientes números en factores primos: 32, 45, 60.
Teorema Fundamental de la Aritmética: Discuta el Teorema Fundamental de la Aritmética y explique su relevancia en la teoría de los números.