Introducción a la Función de Primer Grado:

La Relevancia del Tema

La Función de Primer Grado, también conocida como Función Lineal, es uno de los conceptos fundamentales de las Matemáticas que desempeña un papel vital en la resolución de problemas y en la modelización de situaciones del mundo real. Este tema es una pieza clave en la construcción del entendimiento de los estudiantes sobre funciones matemáticas, sirviendo como base para los estudios avanzados de funciones y cálculos.

Contextualización

Dentro del ámbito de las Matemáticas, las funciones representan relaciones entre magnitudes, siendo la función de primer grado la forma más básica y directa de esta representación. Se utiliza para modelar fenómenos que presentan una variación constante, como el costo de las llamadas telefónicas, la distancia recorrida por un vehículo en función del tiempo, entre otros.

En el currículo de Matemáticas del 1er año de la Enseñanza Media, después del estudio de los conceptos básicos de números y operaciones, es el momento adecuado para introducir la Función de Primer Grado. Este tema sirve como puente para los estudios más profundos en geometría, álgebra y cálculo, que se abordarán en los años siguientes.

Desarrollo Teórico: Función de Primer Grado

Componentes

• Definición de Función de Primer Grado: Una función de primer grado se representa por una ecuación del tipo f(x) = ax + b, donde a y b son números reales y a no puede ser cero. Este tipo de función se caracteriza por presentar una variación constante en su gráfico, que es una recta en el plano cartesiano.

• Coeficiente Angular (a): Este es uno de los componentes principales de la función de primer grado. El coeficiente angular determina la inclinación de la recta resultante en el gráfico. Si a es positivo, la recta tiene inclinación positiva (sube de izquierda a derecha); si a es negativo, la recta tiene inclinación negativa (desciende de izquierda a derecha).

• Término Independiente (b): El término independiente en la función de primer grado, representado por b, indica dónde la recta intercepta el eje de las ordenadas (eje y) en el plano cartesiano. Es el valor asumido por la función cuando x es igual a cero.

• Dominio e Imagen: El dominio de una función de primer grado es el conjunto de todos los valores posibles para x, mientras que la imagen es el conjunto de todos los valores posibles para f(x). En el caso de la función de primer grado, el dominio y la imagen son todos los números reales.

Términos Clave

• Función: una relación entre un conjunto de entradas (dominio) y un conjunto de salidas (imagen), donde cada entrada se relaciona con una única salida.

• Primer grado: un grado de una función indica el mayor exponente que la variable tiene en la ecuación. En el primer grado, la variable se eleva al exponente 1, resultando en una recta en el gráfico.

• Coeficiente: es un número que multiplica una variable en una ecuación matemática. En el contexto de la función de primer grado, el coeficiente angular (a) determina la inclinación de la recta, mientras que el término independiente (b) indica el punto donde la recta intercepta el eje y.

Ejemplos y Casos

• Ejemplo 1 - Cálculo de Costo de una Llamada Telefónica: Supongamos que una llamada telefónica cuesta R$0,50 por minuto. En este caso, el costo de la llamada (función de primer grado) puede expresarse mediante la ecuación C(x) = 0,50x, donde x es el tiempo de duración de la llamada en minutos y C(x) es el costo en reales. Observa que el coeficiente angular a es igual a 0,50, indicando que cada minuto el costo aumenta en R$0,50.

• Ejemplo 2 - Distancia recorrida por un carro: Si un carro se desplaza a una velocidad media de 60 km/h, la distancia recorrida (función de primer grado) puede expresarse mediante la ecuación d(t) = 60t, donde t es el tiempo en horas y d(t) es la distancia en kilómetros. En este caso, el coeficiente angular a es igual a 60, indicando que cada hora la distancia recorrida aumenta en 60 km.

Estos ejemplos ilustran cómo la función de primer grado puede utilizarse para modelar situaciones cotidianas, donde hay una variación constante. La comprensión de cómo funciona el coeficiente angular y el término independiente es fundamental para interpretar correctamente el comportamiento de la función. Por lo tanto, es esencial estar familiarizado con estos términos y saber cómo utilizarlos en la construcción e interpretación de ecuaciones de funciones de primer grado.

Resumen Detallado

Puntos Relevantes:

• Definición de Función de Primer Grado: Una función de primer grado es aquella cuya ecuación puede representarse por f(x) = ax + b, donde a y b son números reales y a es diferente de cero. La función de primer grado se representa por una recta en el plano cartesiano, donde el coeficiente angular a determina la inclinación de la recta y el término independiente b indica el punto de intersección con el eje y.

• Coeficiente Angular y Término Independiente: El coeficiente angular a es un indicador crucial para interpretar el comportamiento de la función en el gráfico. Su positividad/negatividad revela si la función está aumentando o disminuyendo. El término independiente b, por su parte, denota el valor de la función cuando x=0.

• Dominio e Imagen: En la función de primer grado, el dominio y la imagen son siempre el conjunto de los números reales, lo que significa que cualquier número puede ser utilizado como entrada o salida de la función.

Conclusiones:

• Versatilidad de la Función de Primer Grado: La función de primer grado es capaz de modelar diversos fenómenos, desde el costo de una llamada telefónica hasta la distancia recorrida por un vehículo, siempre que estos fenómenos sigan un patrón de variación constante.

• Relación entre Coeficiente Angular y Término Independiente: El coeficiente angular y el término independiente están intrínsecamente ligados a la función de primer grado. Cambios en sus valores acarrean desplazamientos y alteraciones en la inclinación de la recta.

• Interpretación Gráfica: La capacidad de interpretar el gráfico de una función de primer grado, considerando el signo y el valor de a, es un elemento fundamental para la comprensión de este tipo de función.

Ejercicios:

1. Ejercicio 1: Dada la función y = 3x - 2, determina el coeficiente angular y el término independiente. Interpreta su significado en el contexto de la función.

2. Ejercicio 2: Si una función de primer grado tiene un coeficiente angular negativo, ¿cómo sería la inclinación de la recta en el gráfico? Explique.

3. Ejercicio 3: Crea una función de primer grado que modele el siguiente escenario: Un taxi cobra R$2,50 por kilómetro recorrido. El valor inicial de partida es de R$4,00. ¿Cuál es la función que describe el valor a ser pagado, en reales, en función de la distancia recorrida, en kilómetros?