Presentación

Relevancia del Tema La función de primer grado, también conocida como función lineal, es un componente crucial del currículo de matemáticas. ¿Por qué es importante? Modela una infinidad de situaciones del mundo real de manera simple y precisa: desde tasas de crecimiento, gastos, hasta predicciones meteorológicas. Además, es una introducción al álgebra, estableciendo las bases para funciones más complejas y temas avanzados de matemáticas.

Contextualización En el vasto campo de las matemáticas, la función de primer grado es una de las primeras paradas después de explorar los números, las operaciones aritméticas fundamentales y las relaciones de proporción. Situada en la intersección entre la aritmética y el álgebra, la función de primer grado permite la comprensión cuantitativa de muchos fenómenos del día a día, de manera eficiente y elegante. Además, es una base para la comprensión de otros temas matemáticos, como la geometría analítica y las funciones exponenciales y logarítmicas. La construcción de gráficos y tablas para funciones de primer grado facilita la visualización de estas relaciones, permitiendo una interpretación más fácil e inmediata de los datos. Comprender este tema abre la puerta a una comprensión más profunda de las matemáticas y su aplicación en la vida cotidiana y en otras disciplinas.

Desarrollo Teórico

Componentes

• ¿Qué es una Función de Primer Grado?

  • Es una función matemática que puede ser representada gráficamente por una línea recta.
  • También es conocida como función lineal, pues su representación gráfica siempre genera una recta.
  • Su expresión general es de la forma f(x) = mx + b, donde m es la tasa de variación y b es la ordenada al origen.

• Representando la Función de Primer Grado en Tabla y Gráfico

  • La tabla es una forma organizada de presentar los pares ordenados (x, y) que pertenecen a la función.
  • El gráfico, por su parte, es un modelo visual que nos permite ver la relación entre x y y, representando el comportamiento de la función.
  • Para crear la tabla, elegimos valores para x, los sustituimos en la expresión de la función y calculamos los valores correspondientes de y.
  • En el gráfico, los pares (x, y) se representan en el plano cartesiano, donde el eje x representa las entradas (x) de la función y el eje y representa las salidas (y) de la función. Cada par es representado por un punto en el gráfico.

Términos Clave

• Función: Una relación o correspondencia entre dos o más conjuntos, en la que cada elemento del primer conjunto tiene una asociación con uno o más elementos en el segundo conjunto.
• Primer Grado: Se refiere al grado o a la potencia más alta a la que una variable es elevada en una expresión algebraica. En el caso de las funciones de primer grado, la variable solo aparece con exponente 1.
• Gráfico de una Función: Es una representación visual de la función en el plano cartesiano, un sistema de coordenadas que utiliza dos ejes perpendiculares, el eje x (horizontal) y el eje y (vertical).
• Tabla de Valores: Es una forma organizada de presentar los datos correspondientes de una función, mostrando, generalmente, un conjunto de entradas y las salidas correspondientes.

Ejemplos y Casos

• Ejemplo 1:

  • Consideremos la función f(x) = 3x + 2.
  • Eligiendo algunos valores para x, podemos montar la tabla de valores y, a continuación, trazar esos valores en el gráfico.
  • Si x = 0, entonces y = 3(0) + 2 = 2. Por lo tanto, el punto (0, 2) pertenece a la función.
  • Si x = 1, entonces y = 3(1) + 2 = 5. Por lo tanto, el punto (1, 5) pertenece a la función.
  • Si x = -1, entonces y = 3(-1) + 2 = -1. Por lo tanto, el punto (-1, -1) pertenece a la función.
  • Trazando estos tres puntos en el gráfico y uniéndolos con una línea, tenemos una representación gráfica de la función.

• Ejemplo 2:

  • Supongamos que una empresa ofrece un salario fijo de R$ 1.500,00 mensuales, más un valor de R$ 50,00 por cada hora extra trabajada.
  • La función que describe el salario, S, en función de las horas extras trabajadas, H, es dada por S(H) = 50H + 1500.
  • Montando la tabla y el gráfico de valores, podemos visualizar la relación entre horas extras y salario de forma más clara.

Resumen Detallado

Puntos Relevantes

• Definición de Función de Primer Grado: Esta función es una relación matemática que genera una línea recta en el gráfico. Se expresa por el modelo f(x) = mx + b, donde m es la tasa de variación y b es la ordenada al origen. La comprensión de esta definición fundamental es crucial para realizar análisis y predicciones futuras.
• Interpretación del Gráfico y de la Tabla: Gráficos y tablas son herramientas esenciales en la comprensión y representación de la función de primer grado. El gráfico, que es una representación visual de la función en el plano cartesiano, nos permite ver fácilmente el comportamiento de la función. La tabla, por otro lado, organiza los pares ordenados (x, y) correspondientes a la función para facilitar la lectura y el entendimiento.

Conclusiones

• Relación Directa: En una función de primer grado, la tasa de variación (m) representa una relación constante, lo que configura una relación directa entre las dos variables. El significado de esto es: a medida que x aumenta (o disminuye), y también aumenta (o disminuye) en la proporción definida por m.
• Ordenada al Origen: El valor b en la expresión de la función (f(x) = mx + b) determina el punto de intersección con el eje y, también conocido como ordenada al origen. Esto implica que, independientemente de la variación en x, y siempre tendrá ese valor b inicial, lo que puede ser interpretado como un valor fijo, incluso sin la existencia de x.

Ejercicios Sugeridos

1. Ejercicio 1: Escriba la función de primer grado que describe la situación "Una tienda vende camisetas a R$50,00 cada una, más R$10,00 fijos de gastos." A partir de esta función, cree una tabla y un gráfico, y determine cuál sería la ganancia de la tienda si vendiera 5 camisetas.
2. Ejercicio 2: Considere la función f(x) = 2x + 3. Calcule los valores de f(-2), f(0) y f(4), e interprete qué representan estos valores en el contexto de la función. Trace también estos puntos en un gráfico y dibuje la línea correspondiente.
3. Ejercicio 3: Dada la función f(t) = 20t + 500, donde t representa el número de horas trabajadas y f(t) el salario en reales. Determine el salario para 40 horas de trabajo, cree una tabla para t variando de 0 a 50, y trace la función correspondiente.