Introducción

Relevancia del Tema

"Enfocarse en el Máximo y en el Mínimo de la Función Cuadrática es la clave para desbloquear la comprensión avanzada de muchos conceptos matemáticos. La razón detrás de esto es triple. Primero, vuelve al corazón de la matemática - la relación entre las variables. Segundo, trata sobre los conceptos de optimización - un área de extrema importancia práctica en ciencias físicas, economía, ingeniería, entre otros campos. Tercero, delimita el campo de la parábola - una de las formas más fundamentales e icónicas en matemáticas."

Contextualización

"La Función Cuadrática tiene un lugar especial en el currículo de Matemáticas de Secundaria. Siendo una de las primeras funciones no lineales que los estudiantes encuentran, prepara el terreno para el estudio de otras funciones polinomiales. El conocimiento de funciones cuadráticas y sus propiedades también es vital para el estudio de cálculo diferencial e integral. El dominio del cálculo de Máximos y Mínimos en esta función permite una interpretación gráfica y analítica sobre el comportamiento de los fenómenos modelados por ella."

Desarrollo Teórico

Componentes

• Función Cuadrática: Se enfatiza en este tema que una función cuadrática es aquella que puede ser expresada en la forma f(x) = ax² + bx + c, donde a, b y c son constantes, con a ≠ 0. Lo importante aquí es que la parábola generada por esta función, cuando a > 0, tiene concavidad hacia arriba y, cuando a < 0, tiene concavidad hacia abajo.

• Máximos y Mínimos de la Función Cuadrática: Los puntos de máximo y mínimo, es decir, los vértices de las parábolas, son los puntos críticos de este tipo de función. Son donde la función alcanza su valor máximo o mínimo. Representan uno de los principales focos del estudio de la función cuadrática y se calculan por la expresión -b/2a.

• Resolución de Problemas: Después de comprender el concepto y la identificación de los puntos de máximo y mínimo, se trabaja la aplicación para la resolución de problemas prácticos. Este es un punto crucial pues es donde la teoría encuentra aplicación directa.

Términos Clave

• Parábola: es la curva que representa gráficamente la función cuadrática.

• Vértice de la Parábola: es el punto de máximo (para parábolas con la apertura hacia abajo) o mínimo (para parábolas con la apertura hacia arriba) de la función cuadrática. Es el punto donde la parábola cambia de dirección.

• Punto Crítico: Es el vértice de la parábola, es decir, el punto de la función donde ocurre el valor máximo o mínimo.

Ejemplos y Casos

• Ejemplo 1 - Función Creciente: Considere la función f(x) = x² - 4x + 3. En esta función, tenemos a = 1, b = -4 y c = 3. El vértice de esta parábola se calcula por la expresión -b/2a, que nos da 2. Este es el valor de x que resulta en el mínimo de la función.

• Ejemplo 2 - Función Decreciente: Considere la función f(x) = -x² + 4x - 1. En esta función, tenemos a = -1, b = 4 y c = -1. El vértice de esta parábola puede ser calculado por la expresión -b/2a, también resultando en 2. Sin embargo, diferente del ejemplo anterior, este es el valor de x que resulta en el máximo de la función.

• Ejemplo 3 - Problema Práctico: Un rectángulo tiene un perímetro de 36 metros. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que el área sea máxima? Usando la expresión para área de rectángulo, A = L * l, y la expresión para el perímetro, P = 2(L + l) - la cual puede ser reorganizada para obtener l = P/2 - L - podemos sustituir el ancho en la fórmula del área para obtener la función del área en función del largo: A(L) = L(P/2 - L). De ahí, podemos calcular el valor de L para el cual el área es máxima usando la expresión -b/2a.

Resumen Detallado

Puntos Relevantes

• Definición y Componentes: Función Cuadrática es cualquier función expresada en la forma f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0. Es representada por una parábola cuya concavidad depende del signo de a.

• Puntos de Máximo y Mínimo: Son los vértices de la parábola, representando donde la función alcanza su valor máximo o mínimo. Los puntos de máximo o mínimo se calculan por la expresión -b/2a.

• Contexto de Aplicación: La función cuadrática es fundamental en el estudio de otras funciones polinomiales y en conceptos de cálculo diferencial e integral. El cálculo de máximos y mínimos introduce conceptos de optimización.

Conclusiones

• Propiedades de la Función Cuadrática: Su representación gráfica, la parábola, es determinada por los coeficientes; la concavidad es dada por el coeficiente a; máximo o mínimo es dado por el vértice de la parábola.

• Importancia del Estudio: Comprender bien la función cuadrática es fundamental para la progresión en los estudios de matemáticas, particularmente en temas más avanzados como cálculo y optimización.

Ejercicios

1. Ejercicio 1: Determinar los valores de x que resultan en los puntos de máximo y mínimo de la función f(x) = 2x² - 8x + 7.

2. Ejercicio 2: Dado que f(x) = -x² + 10x - 21, encontrar el punto crítico y determinar si representa un máximo o mínimo de la función.

3. Ejercicio 3: Una empresa quiere construir un galpón con forma rectangular en un terreno disponible de 300 metros de largo. ¿Cuál debe ser el ancho del galpón para que su área sea la mayor posible?