(Originais Teachy 2025) - Frage Schwierig von Mathematik

Maria hilft ihrer Mutter, einen Kuchen zu backen. Das Rezept verlangt 1/4 Tasse Zucker und 0,5 Tasse Milch. Wenn Maria die dreifache Menge des Rezepts machen muss, wie viel Zucker und Milch benötigt sie insgesamt?

Betrachten Sie die komplexe Ebene, in der komplexe Zahlen als Punkte dargestellt werden. Ein Schüler, der die komplexen Zahlen studiert, bemerkt, dass die Multiplikation mit einer komplexen Zahl als eine Kombination aus einer Rotation und einer Skalierung interpretiert werden kann. Er fragt sich, was geometrisch passiert, wenn wir eine komplexe Zahl mit ihrem Konjugierten multiplizieren. Basierend auf dieser Überlegung erstellen Sie ein mathematisches Argument, das rechtfertigt, warum das Produkt einer komplexen Zahl mit ihrem Konjugierten eine reelle Zahl ergibt. Verwenden Sie die Definition des Konjugierten und die Eigenschaften der Multiplikation komplexer Zahlen, um die Natur des Ergebnisses zu erklären. Darüber hinaus zeigen Sie, dass das Produkt einer komplexen Zahl mit ihrem Konjugierten immer eine nicht negative Zahl ist, das heißt, eine positive reelle Zahl oder null.

Ein Forscher untersucht die Anzahl der Wassermoleküle in einer 2,5-Liter-Probe. Wenn jedes Molekül etwa 3,0 x 10^{-23} Liter einnimmt, wie viele Wassermoleküle befinden sich insgesamt in der Probe – bitte in wissenschaftlicher Notation angeben?