(Originais Teachy 2023) - Frage Schwierig von Mathematik

Ein Programmierer entwickelt einen Algorithmus, um die Quadratwurzel einer positiven ganzen Zahl 'n' mit dem Bisektionsverfahren zu finden. Der Algorithmus funktioniert folgendermaßen: Zunächst wird ein Intervall [a, b] betrachtet, wobei a eine Schätzung der Quadratwurzel von 'n' ist und b eine Zahl ist, die größer als a ist, so dass b² größer als n ist. Bei jeder Iteration prüft der Algorithmus den Mittelpunkt 'm' des Intervalls und vergleicht 'm²' mit 'n'. Wenn 'm²' kleiner als 'n' ist, wird die Quadratwurzel auf 'm' und die Untergrenze des Intervalls auf 'm' festgelegt. Andernfalls wird die Quadratwurzel auf 'a' und die Obergrenze des Intervalls auf 'm' festgelegt. Der Algorithmus setzt diesen Prozess fort, bis die Differenz zwischen 'a' und 'b' kleiner als ein kleiner Toleranzwert 't' ist. Wenn man eine Zahl 'n' betrachtet, deren Quadratwurzel irrational ist, erkläre, warum das Bisektionsverfahren keine Genauigkeit des Ergebnisses garantiert und wie der Programmierer den Algorithmus anpassen könnte, um eine genauere Annäherung der Quadratwurzel von 'n' zu finden.