Se α und β die spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks sind und gegeben ist, dass sin²(β) - 2 cos(2β) = 0, 

dann ist sin(α) gleich:

Mathematik

Um diese Frage zu lösen, befolgen Sie die folgenden Schritte:

1. Verwenden Sie die trigonometrische Identität des Doppelwinkels: sin²(2β) = 1 - cos²(2β) und cos(2β) = 1 - 2sin²(β).
2. Ersetzen Sie die gegebene Gleichung: sin²(2β) - 2(1 - 2sin²(β)) = 0.
3. Vereinfachen Sie die Gleichung: sin²(2β) - 2 + 4sin²(β) = 0.
4. Ordnen Sie die Gleichung neu: sin²(2β) + 4sin²(β) - 2 = 0.
5. Machen Sie eine Substitution: sei x = sin²(β), dann ist sin²(2β) = (2x - x²) und die Gleichung wird: (2x - x²) + 4x - 2 = 0.
6. Multiplizieren Sie alle Terme mit -1 und ordnen Sie die Gleichung neu: x² - 6x + 2 = 0.
7. Lösen Sie die quadratische Gleichung mit der quadratischen Formel:

  x = (6 ± √(6² - 4 * 1 * 2)) / 2 = (6 ± √32) / 2.

8. Da sin²(β) zwischen 0 und 1 liegt, x = (6 - √32) / 2.
9. Denken Sie daran, dass sin²(α) + sin²(β) = 1 (da α und β in einem rechtwinkligen Dreieck komplementär sind):

  sin²(α) = 1 - sin²(β) = 1 - x = 1 - (6 - √32) / 2 = (2 + √32) / 2.

10. Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung:

  sin(α) = √[(2 + √32) / 2] = 8^0.25 / 2.

Daher ist die richtige Antwort "8^0.25/2".

Frage zu Trigonometrie: Doppel-/Dreifachwinkel

Fach Mathematik

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Quelle ITA

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Thema Trigonometrie: Doppel-/Dreifachwinkel

Trigonometrie: Doppel-/Dreifachwinkel

Schwierigkeit Schwierig

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(ITA 2023) - Frage Schwierig von Mathematik