Betrachten Sie im kartesischen Koordinatensystem die Punkte $$\mathrm{A}(2,0)$$ und $$\mathrm{B}(6,-4)$$, die symmetrisch zur Geraden $$\mathbf{r}$$ sind. Wenn diese Gerade $$r$$ in der Kreisgleichung $$x^{2}+y^{2}-12 x-4 y+32=0$$ eine Sehne von $$n$$ Längeneinheiten bestimmt, dann gehört $$\mathbf{n}$$ zum Intervall.

Betrachten Sie im kartesischen Koordinatensystem die Punkte 

Mathematik

Um diese Frage zu lösen, gehen wir die folgenden Schritte durch:

1. Finden Sie die Gleichung der Geraden r, die die Symmetrieachse der Punkte A und B ist.
2. Finden Sie die Gleichung des Kreises sowie seinen Mittelpunkt und Radius.
3. Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Geraden r mit dem Kreis.
4. Berechnen Sie die Distanz zwischen den Schnittpunkten, um die Länge der Sehne n zu bestimmen.

Schritt 1: Finden Sie die Gleichung der Geraden r.
Die Punkte A(2,0) und B(6,-4) sind symmetrisch zur Geraden r. Der Mittelpunkt M zwischen A und B liegt auf der Geraden r. Berechnen wir M:

M = ((x_A + x_B)/2, (y_A + y_B)/2)
M = ((2 + 6)/2, (0 - 4)/2)
M = (8/2, -4/2)
M = (4, -2)

Nun müssen wir die Steigung der Geraden r finden. Die Gerade r ist senkrecht zum Segment AB, daher ist ihre Steigung das negative Inverse der Steigung von AB. Die Steigung von AB ist:

m_AB = (y_B - y_A) / (x_B - x_A)
m_AB = (-4 - 0) / (6 - 2)
m_AB = -4 / 4
m_AB = -1

Die Steigung der Geraden r ist also das negative Inverse von -1, d.h. m_r = 1. Die Gleichung der Geraden r, die durch den Punkt M(4, -2) geht, lautet:

y - y_M = m_r(x - x_M)
y + 2 = 1(x - 4)
y = x - 4 - 2
y = x - 6

Daher lautet die Gleichung der Geraden r: y = x - 6.

Schritt 2: Finden Sie die Gleichung des Kreises sowie seinen Mittelpunkt und Radius.
Die Gleichung des Kreises ist gegeben durch x^2 + y^2 - 12x - 4y + 32 = 0. Um Mittelpunkt und Radius zu finden, vervollständigen wir die Quadrate:

x^2 - 12x + y^2 - 4y = -32
(x^2 - 12x + 36) + (y^2 - 4y + 4) = -32 + 36 + 4
(x - 6)^2 + (y - 2)^2 = 8

Der Mittelpunkt des Kreises ist C(6, 2) und der Radius ist die Quadratwurzel von 8, das heißt r = √8.

Schritt 3: Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Geraden r mit dem Kreis.
Wir setzen die Gleichung der Geraden r in die Gleichung des Kreises ein:

(x - 6)^2 + (x - 6 - 2)^2 = 8
(x - 6)^2 + (x - 8)^2 = 8

Wir erweitern und vereinfachen die Gleichung:

x^2 - 12x + 36 + x^2 - 16x + 64 = 8
2x^2 - 28x + 100 = 8
2x^2 - 28x + 92 = 0
x^2 - 14x + 46 = 0

Wir lösen die quadratische Gleichung, um die x-Werte zu finden. Wir können die Mitternachtsformel verwenden:

x = [14 ± √(14^2 - 4*1*46)] / (2*1)
x = [14 ± √(196 - 184)] / 2
x = [14 ± √12] / 2
x = [14 ± 2√3] / 2
x = 7 ± √3

Jetzt setzen wir die x-Werte in die Gleichung der Geraden r ein, um die entsprechenden y-Werte zu finden:

y = x - 6
y_1 = (7 + √3) - 6 = 1 + √3
y_2 = (7 - √3) - 6 = 1 - √3

Die Schnittpunkte sind P1(7 + √3, 1 + √3) und P2(7 - √3, 1 - √3).

Schritt 4: Berechnen Sie die Distanz zwischen den Schnittpunkten.
Die Distanz zwischen den zwei Punkten (x1, y1) und (x2, y2) wird gegeben durch:

d = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]

Wir setzen P1 und P2 in die Formel ein:

d = √[(7 - √3 - (7 + √3))^2 + (1 - √3 - (1 + √3))^2]
d = √[(-2√3)^2 + (-2√3)^2]
d = √[4*3 + 4*3]
d = √[12 + 12]
d = √24
d = 2√6

Da √6 zwischen 2 und 3 liegt, liegt 2√6 zwischen 4 und 6. Daher gehört die Länge der Sehne n zum Intervall [4,5[.

Die richtige Antwort ist die Alternative c) [4,5[.

Frage zu Kartesisches Koordinatensystem: Punkte

Fach Mathematik

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Quelle AFA

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Thema Kartesisches Koordinatensystem: Punkte

Kartesisches Koordinatensystem: Punkte

Schwierigkeit Mittel

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(AFA 2023) - Frage Mittel von Mathematik