Fragenbank: Trigonometrie: Doppel-/Dreifachwinkel

Ein Ingenieur entwirft eine neue Struktur und muss die Höhe eines Punktes auf der Spitze eines Gebäudes berechnen, der nicht direkt zugänglich ist. Er platziert einen flachen Spiegel auf dem Boden, 20 Meter vom Gebäude entfernt, so dass der Spiegel die Sicht auf den Punkt oben am Gebäude zu einem Beobachter reflektiert. Dieser Beobachter, der sich 15 Meter vom Fuß des Gebäudes entfernt befindet, blickt in den Spiegel und sieht, dass der Punkt auf der Spitze des Gebäudes einen Winkel von 30 Grad zur Horizontalen bildet. Unter Verwendung von trigonometrischem Wissen bestimmen Sie die Höhe des Punktes auf der Spitze des Gebäudes vom Boden aus.

Ein Raumschiff nähert sich einer Raumstation auf einer geraden Bahn mit konstanter Geschwindigkeit. Als das Raumschiff einen Abstand d zur Station hat, bemerkt ein Beobachter, der sich in der Station befindet, dass der Winkel zwischen dem Raumschiff und einem festen Stern gleich x° ist. Das Raumschiff setzt dann seine Annäherung an die Station fort, sodass der Winkel zwischen ihm und dem Stern zunächst das Doppelte und anschließend das Dreifache des ursprünglich beobachteten Wertes annimmt. Unter Berücksichtigung dieser Situation: (a) Verwenden Sie die Formel des Sinus des Doppelwinkels, um die Beziehung zwischen den Abständen des Raumschiffs zur Station in den ersten beiden Momenten zu finden, als der Winkel x° und 2x° war; (b) Verwenden Sie die Formel des Sinus des Dreifachwinkels, um die Beziehung zwischen den Abständen des Raumschiffs zur Station zu finden, als der Winkel x° und 3x° war; (c) Diskutieren Sie basierend auf den in den Teilen (a) und (b) gefundenen Beziehungen, in welcher der Situationen das Raumschiff der Raumstation näher ist.

Ein Radfahrer beginnt seine Reise um 6 Uhr morgens auf einer runden Radstrecke. Angenommen, dass die Sonnenstrahlen die Strecke so erreichen, dass der Einfallswinkel theta in Abhängigkeit von der Zeit variiert. Es ist bekannt, dass theta um 8 Uhr 30° beträgt und dass der Sonnenstrahl den Radfahrer so beleuchtet, dass der Schatten seines Körpers auf dem Boden aufgrund des verlängerten Schattens der Sonne größer ist. Bestimmen Sie : (a) den Wert des Sinus des doppelten Winkels von theta um 8 Uhr, (b) den Wert des Kosinus des dreifachen Winkels von theta um 8 Uhr und, (c) in Erinnerung daran, dass Sonnenlicht wichtig für die Synthese von Vitamin D ist, ziehen Sie eine Situation in Betracht, in der der Kinderarzt eine Sonnenexposition von mindestens 45 Minuten an diesem Tag empfiehlt. Wenn der Radfahrer bis 10 Uhr morgens radelt, muss er sich dann zusätzlich dieser Zeit der Sonne aussetzen, um die medizinische Empfehlung zu erreichen?