Fragenbank: Komplexe Zahlen: Betrag

Sei eine komplexe Zahl Z=15+30i. Bestimme den Betrag dieser komplexen Zahl.

In einer astronomischen Untersuchung muss ein Astronom die Entfernung eines Satelliten zur Erde berechnen. Er verwendet komplexe Zahlen, um die Position des Satelliten darzustellen, wobei der Realteil die Entfernung in Ost-West-Richtung und der Imaginärteil die Entfernung in Nord-Süd-Richtung repräsentiert. Da die Position des Satelliten durch die komplexe Zahl Z = 5 - 12i dargestellt wird, wobei die Einheit 1 Million Kilometer ist, wie groß ist die Entfernung des Satelliten zur Erde in Millionen Kilometern? Denken Sie daran, dass die Entfernung der Betrag der komplexen Zahl ist.

João lernt über komplexe Zahlen und stößt auf das Konzept des Moduls. Er entdeckt, dass das Modul die Entfernung eines Punktes in der komplexen Ebene von dem Ursprung dieser Ebene darstellt. Er wählt drei komplexe Zahlen: z1 = 3 + 4i, z2 = -2 + 5i und z3 = 6 - 7i. (a) Erklären Sie, was das Modul geometrisch darstellt und demonstrieren Sie, wie man das Modul einer komplexen Zahl findet. (b) Berechnen Sie das Modul jeder der von João gewählten komplexen Zahlen (z1, z2 und z3). 4 (c) Basierend auf den berechneten Modulen, welche der von João gewählten komplexen Zahlen ist am nächsten zum Ursprung in der komplexen Ebene und welche ist am weitesten entfernt? Begründen Sie Ihre Antwort.

Ein Funksignal wird vom Punkt A, dargestellt durch die komplexe Zahl 3 + 4i, ausgesendet und breitet sich im Raum aus. Ein Hindernis in Form eines Kreises mit einem Radius von 1, zentriert am Punkt B, der ebenfalls durch eine komplexe Zahl dargestellt wird, kann die Ausbreitung des Signals stören. Um die Qualität der Übertragung zu gewährleisten, ist es notwendig zu bestimmen, ob das Signal das Hindernis passieren wird oder nicht. Dabei gilt, dass das Signal das Hindernis passieren wird, wenn und nur wenn der Betrag der Differenz zwischen dem Ausgangspunkt des Signals und dem Störpunkt größer ist als der Radius des Interferenzkreises. Berechnen Sie den Betrag der Differenz zwischen Punkt A und Punkt B, um zu entscheiden, ob das Signal vom Hindernis betroffen sein wird oder nicht.

Joana studierte komplexe Zahlen und lernte über den Betrag dieser Zahlen. Sie entdeckte, dass der Betrag die Entfernung der Zahl in der komplexen Ebene vom Ursprung ist. Sie notierte eine Zahl in der algebraischen Form, die folgende Ausdruck hat: z = 3 + 4i. Berechne den Betrag dieser komplexen Zahl und wähle die richtige Alternative.